高斯消元法主要用于

求解逆矩阵求解线性方程组计算行最简形这几种应用的本质都是通过初等行变换进行矩阵化简, 只是增广矩阵的构造和最终目标有所不同.

通用步骤:

构造增广矩阵 [A∣B]\left[A | B\right][A∣B].进行初等行变换初等行变换求解逆矩阵选取单位矩阵 EEE 构造增广矩阵。通过初等行变换将增广矩阵行变换计算逆矩阵。当 AAA 部分变成单位矩阵时, 右侧部分即为A−1A^{-1}A−1.(AE)⟶\mboxrow(EA−1)\left( \begin{array}{c|c} A&E \end{array} \right)\overset{\mbox{row}}{\longrightarrow}\left( \begin{array}{c|c} E&A^{-1} \end{array} \right) (A​E​)⟶\mboxrow​(E​A−1​)

示例Example对于一个 3×33 \times 33×3 矩阵 AAA:

[a11a12a13100a21a22a23010a31a32a33001]\left[ \begin{array}{ccc|ccc} a_{11} & a_{12} & a_{13} & 1 & 0 & 0 \\ a_{21} & a_{22} & a_{23} & 0 & 1 & 0 \\ a_{31} & a_{32} & a_{33} & 0 & 0 & 1 \end{array} \right] ​a11​a21​a31​​a12​a22​a32​​a13​a23​a33​​100​010​001​​

通过行变换将左侧的 AAA 变成单位矩阵, 右侧将变为 A−1A^{-1}A−1.

特殊情况处理特殊情况处理在高斯消元过程中, 如果当前列的主元(pivot)值为 0, 但其他行已被正确形式化, 而不能继续行加减, 此时需要行交换

求解线性方程组将增广矩阵化简为上三角矩阵, 回代求解线性方程组

选取解向量矩阵 BBB 构造增广矩阵。前向消元: 通过初等行变换, 将增广矩阵化为上三角矩阵.回代: 从上三角矩阵的最后一行开始, 逐步求解每个变量的值.示例Example考虑以下线性方程组：

{x+2y+z=42x+3y+2z=73x+y+2z=6\begin{cases} x + 2y + z = 4 \\ 2x + 3y + 2z = 7 \\ 3x + y + 2z = 6 \\ \end{cases} ⎩⎨⎧​x+2y+z=42x+3y+2z=73x+y+2z=6​

1. 构造增广矩阵[121423273126]\left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 2 & 3 & 2 & 7 \\ 3 & 1 & 2 & 6 \\ \end{array}\right] ​123​231​122​476​​

2. 前向消元[12140−10−13126]=[12140−10−10−5−1−6]=[121401010−5−1−6]=[1214010100−1−1]=[121401010011]\begin{align*} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 0 & -1 \\ 3 & 1 & 2 & 6 \\ \end{array}\right] & = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & 0 & -1 \\ 0 & -5 & -1 & -6 \\ \end{array}\right]\\ & = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & -5 & -1 & -6 \\ \end{array}\right]\\ & = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & -1 & -1 \\ \end{array}\right]\\ & = \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 2 & 1 & 4 \\ 0 & 1 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 1 & 1 \\ \end{array}\right] \end{align*}\\ ​103​2−11​102​4−16​​​=​100​2−1−5​10−1​4−1−6​​=​100​21−5​10−1​41−6​​=​100​210​10−1​41−1​​=​100​210​101​411​​​

3. 回代求解从第三行可以直接得到：

z=1z = 1 z=1

将 z=1z = 1z=1 代入第二行：

y+0⋅z=1 ⟹ y=1y + 0 \cdot z = 1 \implies y = 1 y+0⋅z=1⟹y=1

将 y=1y = 1y=1 和 z=1z = 1z=1 代入第一行：

x+2(1)+1=4 ⟹ x+2+1=4 ⟹ x+3=4 ⟹ x=1x + 2(1) + 1 = 4 \implies x + 2 + 1 = 4 \implies x + 3 = 4 \implies x = 1 x+2(1)+1=4⟹x+2+1=4⟹x+3=4⟹x=1

所以解为：

x=1,y=1,z=1x = 1, \quad y = 1, \quad z = 1 x=1,y=1,z=1

计算行最简形计算矩阵的秩和零化度时，通常使用初等行变换将矩阵化简为行最简形

示例Example设矩阵AAA为一个3×43 \times 43×4矩阵：

A=[111−1112−2123−3]A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 1 & -1 \\ 1 & 1 & 2 & -2 \\ 1 & 2 & 3 & -3 \end{bmatrix} A=​111​112​123​−1−2−3​​

将矩阵化简为行最简形（RREF）：RREF(A)=[101−1011−10000]\text{RREF}(A) = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 1 & -1 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{bmatrix} RREF(A)=​100​010​110​−1−10​​

识别自由变量： 在行最简形中，包括2个有效行和一个零行, 自由变量有1个，因此矩阵的零化度为1。